Séance 2-1-2 : Suites numériques - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

2-2/ Exercice 1-2

2-3/ Exercice 1-3

2-4/ Exercice 1-4

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

Soit ${\left(U_n\right)}_{n\ge 1}$ la suite définie par : $U_n=\sum _{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le U_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$.

2. En déduire que ${\left(U_n\right)}_{n\ge 1}$ est bornée.

II- Exercices I

2-2/ Exercice 1-2

On considère la suite ${\left(U_n\right)}_n$ définie par : $U_0=-1$, $U_1=\frac{1}{2}$ et $U_{n+2}=U_{n+1}-\frac{1}{4}{U}_n$.

On pose $V_n=U_{n+1}-\frac{1}{2}{U}_n$ et $W_n=2^n{U}_n$.

1. Montrer que ${\left(V_n\right)}_n$ est une suite géométrique puis calculer $V_n$ en fonction de $n$.

2. Montrer que ${\left(W_n\right)}_n$ est une suite arithmétique puis calculer $W_n$ en fonction de $n$.

3. En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) U_n=\frac{2n-1}{2^n}$.

On pose $S_n=\sum _{k=0}^{k=n}{U}_k$.

4. Prouver que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) S_n=2-\frac{2n+3}{2^n}$.

II- Exercices I

2-3/ Exercice 1-3

Soit ${\left(U_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ la suite telle que $U_0=2$ et $U_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}\left({U_n}^2-U_n+\frac{1}{2}\right)}$.

On pose $V_n={U_n}^2-U_n$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) U_n\ge 1$

2. Montrer que ${\left(V_n\right)}_n$ est une suite géométrique.

3. En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) U_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{8}{2^n}}$.

4. Démontrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 0<U_n-1\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

II- Exercices I

2-4/ Exercice 1-4

${\left(U_n\right)}_n$ est une suite réelle telle que $U_0=1$ et $U_{n+1}=\frac{6U_n}{1+15U_n}$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) U_n>\frac{1}{3}$.

2. Étudier la monotonie de ${\left(U_n\right)}_n$, et en déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) U_n\le 1$

3. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) U_{n+1}-\frac{1}{3}\le \frac{1}{6}\left(U_n-\frac{1}{3}\right)$

4. En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) U_n-\frac{1}{3}\le \frac{2}{3}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n$

On pose $V_n=1-\frac{1}{3U_n}$ pour tout entier naturel $n$.

5. Montrer que ${\left(V_n\right)}_n$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{6}$.

6. Calculer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$.

On pose $S_n=\sum _{k=0}^{k=n}{V}_k$ et $T_n=\sum _{k=0}^{k=n}\frac{1}{U_k}$

7. Déterminer $S_n$ en fonction de $n$.

8. En déduire que $T_n=3n+\frac{3}{5}+\frac{12}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{n+1}$