Séance 2-1-1 : Suites numériques - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-1/ Suite majorée - Suite minorée - Suite bornée

1-2/ Monotonie d'une suite numérique

1-3/ Suite arithmétique

1-4/ Suite géométrique

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-1/ Suite majorée - Suite minorée - Suite bornée

Définition 1

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que : $\left(\forall n\in I\right) u_n\le M$.

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que : $\left(\forall n\in I\right) u_n\ge m$.

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-2/ Monotonie d'une suite numérique

Définition 2

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est croissante si : $\left(\forall n\in I\right) u_{n+1}-u_n\ge 0$

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est décroissante si : $\left(\forall n\in I\right) u_{n+1}-u_n\le 0$

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est constante si : $\left(\forall n\in I\right) u_{n+1}-u_n$

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-2/ Monotonie d'une suite numérique

Remarque

Si la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est croissante alors : $\left(\forall n\in I\right) u_n\ge u_{n_0}$

Si la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est décroissante alors : $\left(\forall n\in I\right) u_n\le u_{n_0}$

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-3/ Suite arithmétique

Définition 3

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (indépendant de $n$) tel que : $\left(\forall n\in I\right) u_{n+1}-u_n=r$

Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$.

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-3/ Suite arithmétique

Propriété 1

Si la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est une suite arithmétique de raison $r$ alors pour tout $\left(n,p\right)\in I^2$ ou a :

$u_n=u_p+\left(n-p\right)r$

et

$u_p+u_{p+1}+....+u_n=\frac{n-p+1}{2}\left(u_p+u_n\right)$

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-4/ Suite géométrique

Définition 4

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (indépendant de $n$) tel que : $\left(\forall n\in I\right) u_{n+1}=q{u}_n$

Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$.

I- Généralités sur les suites (Rappel)

1-4/ Suite géométrique

Propriété 2

Si la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est une suite géométrique de raison $q\in \mathrm{ℝ}*-\left\{1\right\}$ alors pour tout $\left(n,p\right)\in I^2$ ou a :

$u_n=u_p\times q^{n-p}$

et

$u_p+u_{p+1}+....+u_n=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$