Séance 1-3-2 : Limites et continuité - Partie 3 (Exercices)

Sommaire

IIX- Exercices III

8-1/ Exercice 3-1

8-2/ Exercice 3-2

8-3/ Exercice 3-3

8-4/ Exercice 3-4

8-5/ Exercice 3-5

8-6/ Exercice 3-6

IIX- Exercices III

8-1/ Exercice 3-1

Dans chacun des cas suivants, montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis déterminer une expression de $f^{-1}\left(x\right)$ :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=x^2-6x+5 ; I=]-\infty ;3[ \\ \overline{)2} f\left(x\right)=\frac{x^2+4x}{x+2} ; I=[2;+\infty [ \\ \overline{)3} f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} ; I={\mathrm{ℝ}}^{+} \\ \overline{)4} f\left(x\right)={\left(\sqrt{3-x}+1\right)}^2 ; I=]-\infty ;3] \\ \overline{)5} f\left(x\right)=x-\sqrt{x^2-x} ; I=[1;+\infty [ \\ \overline{)6} f\left(x\right)=2x-\sqrt{x} ; I=\left[0;\frac{1}{16}\right] \end{gathered}$$

IIX- Exercices III

8-2/ Exercice 3-2

Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} x^4-5x^2-24=0 \\ \overline{)2} x^6+3x^3-4=0 \\ \overline{)3} \sqrt{\frac{3}{4}{x}^2+5x+8}-\sqrt{\frac{3}{4}{x}^2+5x+1}=1 \\ \overline{)4} \sqrt[4]{\frac{2-x}{3+x}}+\sqrt[4]{\frac{3+x}{2-x}}=2 \\ \overline{)5} {\left(\sqrt[3]{x}-1\right)}^3-27=0 \\ \overline{)6} \sqrt[3]{x+8}-\sqrt[3]{8-x}=\sqrt[6]{64-x^2} \end{gathered}$$

IIX- Exercices III

8-3/ Exercice 3-3

Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \sqrt{x+2}<x \\ \overline{)2} \sqrt{2x+1}-3<\sqrt{x+2} \\ \overline{)3} {\left(2-x\right)}^3\le x \\ \overline{)4} \sqrt[3]{x^2+8}-2<x \end{gathered}$$

IIX- Exercices III

8-4/ Exercice 3-4

Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x} \\ \overline{)2} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^2}-x}{x} \\ \overline{)3} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}+1} \\ \overline{)4} \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-\sqrt[3]{x+6}}{3-\sqrt{2x+5}} \\ \overline{)5} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt[4]{x}-1} \\ \overline{)6} \underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{x^3+x}-x \\ \overline{)7} \underset{x\to +\infty }{\lim }x-\sqrt[3]{x}-\sqrt{x} \end{gathered}$$

IIX- Exercices III

8-5/ Exercice 3-5

1. Simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=Arc\tan 2+Arc\tan \frac{1}{2} \\ B=Arc\tan \left(1-\sqrt{2}\right)-Arc\tan \left(1+\sqrt{2}\right) \end{gathered}$$

2. Établir les égalités suivantes :

$$\begin{gathered} Arc\tan \frac{1}{2}+Arc\tan \frac{1}{3}=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ Arc\tan \frac{1}{2}+Arc\tan \frac{1}{5}+Arc\tan \frac{1}{8}=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ 4Arc\tan \frac{1}{5}-Arc\tan \frac{1}{239}=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$

On pose : $\alpha =2Arc\tan \frac{1}{2}-Arc\tan \frac{1}{7}$

3. Vérifier que $0<\alpha <\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

4. Calculer $\tan \alpha$ puis en déduire la valeur de $\alpha$.

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8-6/ Exercice 3-6

On considère la fonction $h$ définie par $h\left(x\right)=Arc\tan \left(\frac{x^2-4x+2}{x^2-2}\right)$

1. Déterminer $D_h$ le domaine de définition de $h$.

2. Calculer les limites de $h$ aux bornes du $D_h$.

3. Montrer que $h$ réalise une bijection de $K=]\sqrt{2};+\infty [$ à valeurs dans un intervalle $L$ à déterminer.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=]\sqrt{2}-1;+\infty [$ par $f\left(x\right)=h\left(x+1\right)$.

4. Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $f^{-1}\left(x\right)$ pour tout $x\in J$.