Séance 2-3-2 : Suites numériques - Partie 3 (Exercices)

Sommaire

IIX- Exercices III

8-1/ Exercice 3-1

8-2/ Exercice 3-2

8-3/ Exercice 3-3

8-4/ Exercice 3-4

8-5/ Exercice 3-5

IIX- Exercices III

8-1/ Exercice 3-1

1. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$ :

$Arc\tan \left(\frac{1}{1+x+x^2}\right)=Arc\tan \left(\frac{1}{x}\right)-Arc\tan \left(\frac{1}{1+x}\right)$

Posons pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ : $u_n=Arc\tan \left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)$ et $S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$

2. Calculer $lim{u}_n$.

3. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. Préciser $lim{S}_n$.

IIX- Exercices III

8-2/ Exercice 3-2

Soit $f$ la fonction définie sur $I=\left[0;\frac{1}{4}\right]$ par : $f\left(x\right)=x^2+\frac{3}{4}x$

1. Déterminer $f\left(I\right)$.

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par $u_0=\frac{1}{5}$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 0\le u_n\le \frac{1}{4}$

3. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

4. En déduire que $\left(u_n\right)$ est convergente.

5. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

IIX- Exercices III

8-3/ Exercice 3-3

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+{u_n}^2$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

2. Montrer par l’absurde que $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.

3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

IIX- Exercices III

8-4/ Exercice 3-4

Soit $a\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=\alpha \left(\alpha >\sqrt[3]{a} et \alpha \in \mathrm{ℝ}\right)\\ u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2u_n+\frac{a}{{u_n}^2}\right)\end{array}\right.$

1. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n>0$.

2. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_{n+1}-\sqrt[3]{a}=\frac{2u_n+\sqrt[3]{a}}{3{u_n}^2}{\left(u_n-\sqrt[3]{a}\right)}^2$.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n>\sqrt[3]{a}$.

4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

5. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_{n+1}-\sqrt[3]{a}\le \frac{2}{3}\left(u_n-\sqrt[3]{a}\right)$

6. En déduire que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_{n+1}-\sqrt[3]{a}\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^n\left(u_0-\sqrt[3]{a}\right)$

7. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$

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8-6/ Exercice 3-5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=1\\ u_{n+1}=1+\frac{1}{1+u_n} \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\end{array}\right.$

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 1\le u_n\le \frac{3}{2}$.

3. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \left|u_{n+1}-u_n\right|\le \frac{1}{4}\left|u_n-u_{n-1}\right|$.

On considère les suites $\left({\alpha }_n\right)$ et $\left({\beta }_n\right)$ définies par :

$\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) {\alpha }_n=u_{2n} et {\beta }_n=u_{2n+1}$

4. Vérifier que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) {\beta }_n=1+\frac{1}{1+{\alpha }_n}$.

5. Montrer que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) {\alpha }_n\le {\beta }_n$.

6. Montrer que la suite $\left({\alpha }_n\right)$ est croissante et la suite $\left({\beta }_n\right)$ est décroissante.

7. Monter que les suites $\left({\alpha }_n\right)$ et $\left({\beta }_n\right)$ convergent et vers la même limite.

8. Monter que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \left|u_{n+1}-\sqrt{2}\right|\le \frac{1}{4}\left|u_n-\sqrt{2}\right|$

9. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

10. Déterminer un entier naturel $N$ à partir duquel $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \left|u_n-\sqrt{2}\right|<{10}^{-2}$.