Séance 2-3-1 : Suites numériques - Partie 3 (Cours)

Sommaire

VI- suites de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $v_n=f\left(u_n\right)$

6-1/ Suite de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$

6-2/ Limite d’une suite de la forme $v_n=f\left(u_n\right)$

VII- Suites adjacentes

VI- suites de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $v_n=f\left(u_n\right)$

6-1/ Suite de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$

Proposition 12

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f\left(I\right)\subset I$.

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite réelle définie par $u_{n_0}\in I$ et $\left(\forall n\ge n_0\right) u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

Si ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est convergente de limite $\mathcal{l}$  alors $\mathcal{l}$ est solution de l'équation $f\left(x\right)=x$.

VI- suites de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $v_n=f\left(u_n\right)$

6-2/ Limite d’une suite de la forme $v_n=f\left(u_n\right)$

Proposition 13

Si une suite $\left(u_n\right)$ est convergente vers $\mathcal{l}$ et $f$ est une fonction continue en $\mathcal{l}$, alors la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=f\left(u_n\right)$ est convergente et sa limite est $f\left(\mathcal{l}\right)$.

VI- suites de la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $v_n=f\left(u_n\right)$

6-2/ Limite d’une suite de la forme $v_n=f\left(u_n\right)$

Applications

Déterminer les limites des suites définies par :

$$\begin{gathered} \overline{)1} u_n=\sqrt[3]{\frac{24n^4-n+1}{3n^4-n^2+7}} \\ \overline{)2} v_n=\sqrt[4]{\frac{16n^3-3n+1}{2n^2+1}} \end{gathered}$$

VII- Suites adjacentes

Définition 8

On dit que deux suites numériques $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont adjacentes si une est croissante, l’autre est décroissante et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(v_n-u_n\right)=0$.

VII- Suites adjacentes

Applications

On considère les suites numériques $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par $u_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$ et $v_n=u_n+\frac{1}{n!}$.

• Montrer que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont adjacentes.

VII- Suites adjacentes

Proposition 14

Si $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et ont la même limite.

VII- Suites adjacentes

Applications

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $a<b$.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_0=a\\ u_{n+1}=\frac{2u_n{v}_n}{u_n+v_n}, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{v}_0=b\\ v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n\le v_n$

2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et que $\left(v_n\right)$ est décroissante.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $v_{n+1}-u_{n+1}\le \frac{1}{2}\left(v_n-u_n\right)$

4. En déduire que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont adjacentes.

5. Montrer que la suite $\left(u_n{v}_n\right)$ est constante, et en déduire la limite commune des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.