الحصة 7-1 : الاشتقاق (الدرس)

الفهرس

I- معادلة المماس لمنحنى عند نقطة أفصولها $a$

II- العمليات على الدوال المشتقة

III- جدول للدوال المشتقة للدوال الاعتيادية

IV- الدالة المشتقة ورتابة دالة عددية

I- معادلة المماس لمنحنى عند نقطة أفصولها $a$

$y=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$ هي معادلة مماس منحنى عند النقطة $\left(a,f\left(a\right)\right)$.

مثال

لنحدد معادلة المماس $\left(T\right)$ لمنحنى $f$ المعرفة كما يلي $f\left(x\right)=x^2+1$ عند النقطة التي أفصولها $O$.

لدينا : $f\left(0\right)=1$ و $f\text{'}\left(0\right)=0$

إذن: معادلة $\left(T\right)$ هي : $y=f\text{'}\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)=1$

II- العمليات على الدوال المشتقة

لتكن $f$ و $g$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال مفتوح $I$

لدينا :

$$\begin{gathered} \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\text{'}=f\text{'}\left(x\right)+g\text{'}\left(x\right) \\ \left(kf\left(x\right)\right)\text{'}=kf\text{'}\left(x\right) ; k\in \mathrm{ℝ} \\ \left(f\left(x\right).g\left(x\right)\right)\text{'}=f\text{'}\left(x\right).g\left(x\right)+f\left(x\right).g\text{'}\left(x\right) \\ {\left(\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=-\frac{f\text{'}\left(x\right)}{{\left(f\left(x\right)\right)}^2} ; f\left(x\right)\ne 0 \\ {\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}\left(x\right).g\left(x\right)-f\left(x\right).g\text{'}\left(x\right)}{{\left(g\left(x\right)\right)}^2} ; g\left(x\right)\ne 0 \\ {\left[{\left(f\left(x\right)\right)}^n\right]}^{\text{'}}=nf\text{'}\left(x\right){\left(f\left(x\right)\right)}^{n-1} ; n\in \mathrm{\mathbb{N}}* \end{gathered}$$

مثال

III- جدول للدوال المشتقة للدوال الاعتيادية

مثال

IV- الدالة المشتقة ورتابة دالة عددية

لتكن $f$ ‏ دالة عددية و $f\text{'}$ مشتقها على $I$ حيث $I$ مجال مفتوح من ${\mathcal{D}}_f$

1) إذا كانت $\left(\forall x\in I\right) f\text{'}\left(x\right)\ge 0$؛ فإن $f$ تزايدية على $I$.
‏
2) إذا كانت $\left(\forall x\in I\right) f\text{'}\left(x\right)\le 0$؛ فإن $f$ تناقصية على $I$.

مثال