الحصة 4-1 : المتتاليات العددية (الدرس)

الفهرس

I- تعريف المتتالية العددية

II- عدد حدود متتالية

III- المتتالية الحسابية

1-3/ تعريف

2-3/ الحد العام لمتتالية حسابية

3-3/ ثلاثة حدود متتابعة من متتالية حسابية

4-3/ مجموع $n$ حدا متتابعة من متتالية حسابية

IV- المتتالية الهندسية

1-4/ تعريف

2-4/ الحد العام لمتتالية هندسية

3-4/ ثلاثة حدود متتابعة من متتالية هندسية

4-4/ مجموع $n$ حدا متتابعة من متتالية هندسية

I- تعريف المتتالية العددية

تعريف

المتتالية العددية هي كل دالة عددية معرفة على جزء من $\mathrm{\mathbb{N}}$.

إذا رمزنا للدالة ب $U$، فإننا نرمز للمتتالية ب $\left(U_n\right)$.

مثال

II- عدد حدود متتالية

خاصية

إذا كانت $\left(U_n\right)$ متتالية، فإن عدد الحدود المتتابعة $U_p;U_{p+1};.....;U_n$ هو $n-p+1$.

مثال

III- المتتالية الحسابية

1-3/ تعريف

نقول إن $\left(U_n\right)$ متتالية حسابية أساسها $r$ إذا كان $U_{n+1}=U_n+r$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$.

مثال

III- المتتالية الحسابية

2-3/ الحد العام لمتتالية حسابية

خاصية

إذا كانت $\left(U_n\right)$ متتالية حسابية أساسها $r$ فإن $U_n=U_0+nr$ و $U_n=U_p+\left(n-p\right)r$.

مثال

III- المتتالية الحسابية

3-3/ ثلاثة حدود متتابعة من متتالية حسابية

خاصية

$a$ و $b$ و $c$ هي، في هذا الترتيب، حدود متتابعة لمتتالية حسابية.
 
هذا يعني أن :$b=\frac{a+c}{2}$ .

مثال

III- المتتالية الحسابية

4-3/ مجموع $n$ حدا متتابعة من متتالية حسابية

خاصية

$\left(U_n\right)$ متتالية حسابية

لدينا : $U_1+U_2+.....+U_n=\frac{n}{2}\left(U_1+U_n\right)$

وعلى العموم : $U_p+U_{p+1}+.....+U_n=\frac{\left(n-p+1\right)}{2}\left(U_p+U_n\right)$

مثال

IV- المتتالية الهندسية

1-4/ تعريف

نقول إن $\left(U_n\right)$ متتالية هندسية أساسها $q$ إذا كان $U_{n+1}=q\times U_n$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$.

مثال

IV- المتتالية الهندسية

2-4/ الحد العام لمتتالية هندسية

خاصية

إذا كانت $\left(U_n\right)$ متتالية هندسية أساسها $q$ فإن $U_n=U_0\times q^n$ و $U_n=U_p\times q^{\left(n-p\right)}$.

مثال

IV- المتتالية الهندسية

3-4/ ثلاثة حدود متتابعة من متتالية هندسية

خاصية

$a$ و $b$ و $c$ هي، في هذا الترتيب، حدود متتابعة لمتتالية هندسية.
 
هذا يعني أن :$b^2=a\times c$ .

مثال

IV- المتتالية الهندسية

4-4/ مجموع $n$ حدا متتابعة من متتالية هندسية

خاصية

$\left(U_n\right)$ متتالية هندسية أساسها $q$ بحيث $q\ne 1$.

لدينا : $U_1+U_2+.....+U_n=U_1\left(\frac{1-q^n}{1-q}\right)$

وعلى العموم : $U_p+U_{p+1}+.....+U_n=U_p\left(\frac{1-q^{\left(n-p+1\right)}}{1-q}\right)$

ملحوظة

إذا كان $q=1$ فإن : $U_1+U_2+.....+U_n=n{U}_1$.

مثال