الحصة 2-1 : الحساب العددي والتناسبية (الدرس)

الفهرس

I- التناسبية

1-1/ النسبة المنوية

2-1/ التناسب والتناسب العكسي

II- المعادلات والمتراجحات والنظمات

1-2/ حل معادلة من الدرجة الأول بمجهول واحد

2-2/ حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

3-2/ حل نظمة معادلتين من الدرجة الأول بمجهولين6

I- التناسبية

1-1/ النسبة المنوية

تعريف

لتكن $E$ مجموعة عدد عناصرها $n$، و $A$ جزء من $E$ عدد عناصره $m$.

النسبة المنوية التي تمثلها $A$ في $E$ هو العدد $p$ الذي بحقق : $p=\frac{m}{n}\times 100$.

ونرمز له بالرمز $p\%$.

مثال

عدد تلاميذ مؤسسة تعليمية هو $2800$ تلميذ وعدد الإناث هو $2100$.

$E$ هي مجموعة التلاميذ في المؤسسة، والجزء $A$ هو مجموعة الفتيات.

النسبة المئوية التي تمثلها الفتيات هي : $p=\frac{2100}{2800}\times 100=75$

يعني : $75\%$

I- التناسبية

2-1/ التناسب والتناسب العكسي

تعريف 1 (التناسب)

$a$ و $b$ و $c$ و $d$ أعداد غير منعدمة.

يكون $a$ و $b$ متناسبين مع $c$ و $d$ إذا كان : $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

مثال

I- التناسبية

2-1/ التناسب والتناسب العكسي

تعريف 2 (التناسب العكسي)

$a$ و $b$ و $c$ و $d$ أعداد غير منعدمة.

يكون $a$ و $b$ متناسبين عكسيا مع $c$ و $d$ إذا كان : $\frac{a}{{\displaystyle \frac{1}{c}}}=\frac{b}{{\displaystyle \frac{1}{d}}}$، يعني : $ac=bd$.

مثال

II- المعادلات والمتراجحات والنظمات

1-2/ حل معادلة من الدرجة الأول بمجهول واحد

مثال

II- المعادلات والمتراجحات والنظمات

1-2/ حل معادلة من الدرجة الأول بمجهول واحد

إشارة $ax+b \left(a\ne 0\right)$

II- المعادلات والمتراجحات والنظمات

2-2/ حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

$a{x}^2+bx+c=0 \left(a\ne 0\right)$ تسمى معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد.

والعدد $\Delta =b^2-4ac$ يسمى مميزها.

- إذا كان $\Delta >0$، إذن المعادلة تقبل حلين مختلفين هما :$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$  و $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.

- إذا كان $\Delta =0$، إذن المعادلة تقبل حلا وحيدا هو $x_0=\frac{-b}{2a}$.

- إذا كان $\Delta <0$، إذن المعادلة لا تقبل أي حل في $\mathrm{ℝ}$.

مثال

II- المعادلات والمتراجحات والنظمات

2-2/ حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

إشارة $a{x}^2+bx+c=0 \left(a\ne 0\right)$

- إذا كان $\Delta >0$ :

- إذا كان $\Delta =0$ :

- إذا كان $\Delta <0$ :

II- المعادلات والمتراجحات والنظمات

3-2/ حل نظمة معادلتين من الدرجة الأول بمجهولين

لحل النظمة $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.$ يمكن استعمال الخوارزمية التالية :

1- نحسب المحددة : $\Delta =\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a\text{'}& b\text{'}\end{array}\right|$

2-

• إذا كان $\Delta \ne 0$ :

النظمة تقبل حلا وحيدا $\left(x,y\right)$، حيث $x=\frac{\Delta x}{\Delta }$ و $y=\frac{\Delta y}{\Delta }$.

علما أن $\Delta x=\left|\begin{array}{cc}c& b\\ c\text{'}& b\text{'}\end{array}\right|$ و $\Delta y=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ a\text{'}& c\text{'}\end{array}\right|$.

• إذا كان $\Delta =0$ :

أ- إذا كان $\Delta x\ne 0$ أو $\Delta y\ne 0$، فإن : $S=\varnothing$.

ب- إذا كان $\Delta x=\Delta y=0$ ، فإن للنظمة ما لا نهاية له من الحلول، وتكون هذه الحلول مُحددة بإحدى المعادلتين.

مثال